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Título : Una demostración algebraica del teorema de Frobenius sobre las álgebras asociativas de división sobre los números reales
Autor : Skukalek, John (dir)
Vinueza Fiallos, Fernando Xavier
Palabras clave : Algebras Asociativas
Matemáticas
Fecha de publicación : 2017
Editorial : Quito: USFQ, 2017
Citación : Tesis (Licenciado en Matemáticas), Universidad San Francisco de Quito, Colegio de Ciencias Sociales y Humanidades; Quito, Ecuador, 2017
Resumen : En este artículo demostramos el Teorema de Frobenius sobre las álgebras asociativas de división sobre los números reales. Este teorema dice que ``cualquier álgebra asociativa de división de dimensión finita sobre los números reales es isomorfa a los números reales, los números complejos o los cuaterniones”. La demostración de este teorema se ha hecho para que sea fácil de entender para los estudiantes avanzados de matemáticas de pregrado. Consecuentemente, no usamos la teoría de módulos semisimples, el teorema centralizador y el radical de Jacobson como los libros de posgrado de matemática lo hacen; en vez de eso, nosotros nos limitamos a usar solamente la teoría de las álgebras centrales simples y la herramienta del producto tensorial de módulos y K-álgebras. Nosotros demostramos este teorema al trabajar en los casos no conmutativo y conmutativo. Adicionalmente, para determinar un isomorfismo a los cuaterniones, nosotros demostramos y usamos el clásico teorema de Skolem-Noether.
Descripción : In this article we prove the Frobenius' theorem on associative division algebras over the Real Numbers which says that ``any finite dimensional associative division algebra of finite dimension over the real numbers is isomorphic to either the real numbers, complex numbers or quaternions". This proof of Frobenius' theorem is intended to be easy to understand for advanced undergraduate mathematics students. Thus we don't use the theory of semisimple modules, the centralizer theorem, and the Jacobson radical as graduate books do; instead, we limit ourselves to use only the theory of central simple algebras, and the machinery of tensor product of modules and K-algebras. We prove this theorem by working in the noncommutative and commutative case. Additionally, to determine an isomorphism to quaternions we prove and use the classical form of Skolem-Noether theorem.
URI : http://repositorio.usfq.edu.ec/handle/23000/6492
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