Una demostración algebraica del teorema de Frobenius sobre las álgebras asociativas de división sobre los números reales

Abstract

En este artículo demostramos el Teorema de Frobenius sobre las álgebras asociativas de división sobre los números reales. Este teorema dice que ``cualquier álgebra asociativa de división de dimensión finita sobre los números reales es isomorfa a los números reales, los números complejos o los cuaterniones”. La demostración de este teorema se ha hecho para que sea fácil de entender para los estudiantes avanzados de matemáticas de pregrado. Consecuentemente, no usamos la teoría de módulos semisimples, el teorema centralizador y el radical de Jacobson como los libros de posgrado de matemática lo hacen; en vez de eso, nosotros nos limitamos a usar solamente la teoría de las álgebras centrales simples y la herramienta del producto tensorial de módulos y K-álgebras. Nosotros demostramos este teorema al trabajar en los casos no conmutativo y conmutativo. Adicionalmente, para determinar un isomorfismo a los cuaterniones, nosotros demostramos y usamos el clásico teorema de Skolem-Noether.